Dünyadaki birçok hayvan grupları gruplar halinde yaşarlar, bunlara örnek olarak kuşlar ve karıncalar gösterilebilir.
Bu tür nesnelerin bir araya gelerek gruplar oluşturmalarına küme denir ve bu nesneler oluşturdukları kümelerin birer elemanıdır.

• Kümeler kapalı şekillerle gösterilirler.Genellikle bu kapalı şekiller daire,üçgen veya dörtgen olur.
• Kümeler üzerilerine konan bir büyük harfle isimlendirilir.

Yukarıda en sık gösterim olan şekille gösterimden, yani Şema yönteminden bahsettik.Bunun haricinde liste ve ortak özellik yöntemi de mevcuttur.

Şimdi bunları açıklayalım.

1. Kümelerin kapalı şekillerle gösterilmesine Venn Şeması denir.Kümenin elemanları şeklin içine önüne nokta konarak yerleştirilir.Nokta konmasının sebebi elemanların bulunduğu yerin belli olmasıdır.
2. Kümenin elemanlarının küme parantezi ile {} bu şekille, kümenin elemanlarının arasına virgül konur.Buna Liste yöntemi denir.Örneğin A={at,kuş,böcek}
3. Kümenin elemanlarının cümlelerle ifade edilmesidir. Yine parantez içinde gösterilir.Örneğin; bir kümenin elemanları K={a,e,i,ı,o,ö,u,ü} ise bunu K={alfabemizdeki sesli harfler} diye de yazabiliriz.Bu tür yazıma ortak özellik yöntemi ile gösterim denir.

Peki neden 1. başlıktaki Şemaya Venn şeması denir? Bu şemayı ilk öneren kişi john venn adında bir matematikçidir.

---

Boş Küme ve Evrensel Küme:

 

İçinde hiçelemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Yani; elimizde bir küme var fakat içine hiç eleman yerleştirilmemiş.Yani hiç elemanı yok.Eleman sayısı sıfırdır. { } şeklinde veya O nun üzerine çizgi çekilerek gösterilir. {0} bu boş kümeyi ifade etmez. içinde 0 elemanı olan bir kümeyi gösterir.

Belirli alandaki her nesneyi içine aldığı varsayılan kümeye Evrensel küme denir ve E harfi ile

gösterilir.

Önemli not: Kümede her eleman sadece bir kere yazılır ve elemanların hangi sırayla yazıldığı önemli değildir.

Örneğin A={a,b,c} ile A={b,c,a} aynı kümeleri ifade eder.

Peki neden bir kümede her eleman sadece bir kere yazılır ? Biraz ileri düzeyde bir anlatım fakat kümelerden alt küme oluştururken iki tane aynı küme oluşuyor ve iki küme birbirine eşit olduğu için ikincisini yazmanın bir anlamı yok.

Örneğin; A={1,2,3,1} kümesine bakalım. Bu küme ile başka kümeler oluşturalım. B={1,2} C={1,2} bu kümeler birbirine eşittir ve ikisini birden kabul edemeyiz fakat bir tanesi ilk 1 rakamı ile diğeri ikinci 1 rakamı ile oluşturulmuştur. Bunu, bakan kişi anlayamaz. Hangisi ile oluşturulduğu belli değildir.

Bu yüzden karışıklılık oluşmaması için her eleman sadece bir kere yazılır.

Kümelerde işlemler denince akla şunlar gelir;

1. Kesişim işlemi
2. Birleşim işlemi
3. Fark işlemi
4. Tümleme işlemi
5. Alt küme

• Kesişim işlemi:

Kesişen iki yol düşünelim, bu iki yolun kesiştiği yerde de bir köy bulunsun.

Bu köy her iki yola da aittir.Kesişme kelime anlamı olarak ortak nokta demektir.

Kümelerde kesişim işlemi de; her iki kümede bulunan ortak noktalar anlamına gelir.

A={sarı,kırmızı,mor,lacivert,gri}

B={beyaz,sarı,turuncu,gri,mavi,yeşil}

yukarıdaki kümelere baktığımızda her iki kümede de olan elemanlara bu iki kümenin kesişimi diyeceğiz.

Yukarıdaki iki kümede de olan eleman “sarı,gri” dır.Bu nedenle bu iki kümenin kesişimi “sarı,gri” dır.Kesişim işlemi ters U harfi ile gösterilir.

yani;

A kesişim B={sarı,gri} olarak gösterilir.

Şekille gösterimi en altta görebilirsiniz.

• Birleşim işlemi:

Birleşim işlemi de dört işlemimizde toplama işlemi anlamına gelir.Fakat buradaki toplama işleminde aynı elemanlar iki kere kabul edilmiyor.

A={sarı,kırmızı,mor,lacivert,gri}

B={beyaz,sarı,turuncu,gri,mavi,yeşil}

Bu iki kümede toplam 11 tane eleman vardır. ( eleman: bir kümenin sahip olduğu nesnelerdir )

Fakat bu elemanlardan 2 tanesi aynı olduğu için toplamdan çıkartılır.O halde bu iki kümenin birleşimi 9 elemanlı olacaktır.

Acaba öyle mi izleyelim.

AUB={sarı,kırmızı,mor,lacivert,gri,beyaz,turuncu,mavi,yeşil}

görüldüğü gibi bu iki kümenin birleşiminden elde edilen eleman sayısı 9 tanedir.

Bunlar;

AUB={sarı,kırmızı,mor,lacivert,gri,beyaz,turuncu,mavi,yeşil} dir.

Not: Birleşim işleminin sembolü, iki kümenin arasına konan bir U harfidir.

• Fark işlemi:

isminden de anlaşılacağı gibi fark işlemi dört işlemdeki çıkarma işlemi anlamına gelir.Yani bir kümenin elemanlarından diğer kümenin elemanlarını çıkartıyoruz.Fark işlemi / sembolü veya - sembolü ile gösterilir.

Tanım:Bir kümede olup diğer kümede olmayan elemanlara bir kümenin diğer kümeden farkı denir.

A={sarı,kırmızı,mor,lacivert,gri}

B={beyaz,sarı,turuncu,gri,mavi,yeşil}

A/B={kırmızı,mor,lacivert} bu şu demektir: A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar kırmızı,mor ve laciverttir.

B/A={beyaz,turuncu,mavi,yeşil} bu ise; B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanlar beyaz,turuncu,mavi ve yeşil anlamına gelir.

• Tümleme işlemi:

Elimizde birkaç tane küme olsun.Bizden istenen kümenin dışında kalan tüm elemanlara tümleyen elemanlar denir. Yani tamamlayan anlamındadır.Tümlyen sembolü kümenin harfinin üzerine konan kesme işareti şeklindedir.

A={sarı,kırmızı,mor,lacivert,gri}

B={beyaz,sarı,turuncu,gri,mavi,yeşil}

A/B nin tümleyeni sorulsun bize.

A/B={kırmızı,mor,lacivert} bu bize A/B yi verir.Bizden istenen ise A/B nin tümleyenidir.Yani A/B nin dışında kalan bütün elemanlardır.

A/B nin tümleyeni = (A/B)’ = {sarı,gri,beyaz,turuncu,mavi,yeşil} olarak yazılabilir.Daha net anlaşılması için en altta görsel hale getirilmiştir.

A’ bu da A nın tümleyeni demektir.

• Alt Küme:
  

Sınıfımız bir küme olsun.

Sınıfımızdaki erkekler başka bir küme

Sınıfımızdaki kızlar da diğer bir kümedir.

Erkeklerin ve kızların bulunduğu kümedeki tüm kişiler sınıfımız kümesinde zaten mevcuttur.

Bunun gibi bir kümenin bütün elemanları diğer kümede de varsa, bu küme diğer kümenin alt kümesidir denir. Daha detaylı bilgi en altta yer almakta.

Not: Her küme aynı zamanda kendisinin alt kümesidir.

Not: Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Eleman sayısı nasıl gösterilir: Bir kümenin elemanlarını tek tek yazmayı öğrendik, peki toplam kaç tane elemanı var diye sorulrusa nasıl gösterebiliriz ?

Kümenin elemanlarını sayıyoruz, örneğin kümemizin 10 elemanı olsun.Kümenin adı da A olsun.

S(A)=10 olarak gösterim yapılır.

Şimdi bunların hepsini görsel hale getirelim.

 SORULAR

 

CEVAPLAR
/

/

/

/

/

/

/

1D-2C-3A-4C-5C-6D-7C-8C-9D-10B-11C-12D-13C-14B-15C-16C